本文将复现1D模型
RC电路特征频率
搭建了震荡电路以及测量部分
通过频谱仪可以看出明显的尖峰 160Hz
这里 C0 = C1 = 1mF, L0 = 1mH, $\omega_0 = (L0*C0)^{-1/2} = 1000Hz$, $f = \omega_0/2\pi \sim 160 Hz$.
两个元胞的周期性电路
利用子系统封装测量电路，同时把电路转化成netlist
这时 Y矩阵
$$ \begin{equation} \begin{aligned} &\hat{Y} \boldsymbol{V}=\frac{1}{\omega^{2} L} \boldsymbol{V}, \newline &\hat{Y}=\left[\begin{array}{cccc} y_{1} & -C_{12} & \cdots & -C_{1 N} \newline -C_{21} & y_{2} & \cdots & -C_{2 N} \newline \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \newline -C_{N 1} & -C_{N 2} & \cdots & y_{N} \end{array}\right] \newline &y_{\alpha}=\sum_{\alpha^{\prime}=1(\neq \alpha)}^{N} C_{\alpha \alpha^{\prime}}+C_{\alpha} \end{aligned} \end{equation} $$
写为 $$ \hat{Y}= \left[\begin{array}{cccc} C_0+C_1 & -C_{12} \newline -C_{21} & C_0+C_1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 2C_0& -C_{0} \newline -C_{0} & 2C_0 \end{array}\right] $$
其本征值为$[1,3]^T*C_0$, 后续为了简单，我们直接利用对本征值 $E = [E_1,E_2,…,E_N]^T =\frac{1}{\omega^{2} L} $,得到 本征频率比例为 $E^{-1/2}$.
按照推导，求解出的共振频率为 $[1.0000,0.5774]*160 = [160.0000,92.3760]Hz$
而实际的结果
确实 70Hz 和 160Hz, 差距过大,不知为何
四个元胞的周期性电路
此时我们进一步封装电路
四个元胞形成闭合回路
对角化矩阵
$$
\hat{Y}=
\left[\begin{array}{cccc}
3 & -1 &0 &-1 \newline
-1 & 3 &-1 & 0 \newline
0 & -1 &3 &-1 \newline
-1 & 0 &-1 & 3 \newline
\end{array}\right]
$$
求解共振频率为 $\left(\begin{array}{cccc}
1 & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{5}}{5}
\end{array}\right)*160 = (160.0000,92.3760,92.3760,71.5542)Hz$
这个确实可以在频谱分析仪中得到验证
10个元胞的周期性电路
这次我们用了10个元胞，注意我们 pri0引用的子系统(接了Solve = 0)和1-9引用的子系统略有不同, 同时我们的局域变量空间中定义了C0,C1,L0 这三个参数，意味着我们可以全局调参。
哈密顿量可以写为
1c0 =1;c1 =1;
2H = diag(repmat(c0+2*c1,[10,1]))+diag(ones(9,1)*-c1,1)+diag(ones(9,1)*-c1,-1)
3H(1,10) = -c1
4H(10,1) = -c1
共振频率为 $$\left(\begin{array}{cccccccccc} 1 & \frac{\sqrt{5}}{5} & \frac{1}{\sqrt{\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}}} & \frac{1}{\sqrt{\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}}} & \frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{5}{2}}} & \frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{5}{2}}} & \frac{1}{\sqrt{\frac{7}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}}} & \frac{1}{\sqrt{\frac{7}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}}} & \frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{7}{2}}} & \frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{7}{2}}} \end{array}\right)*f_0$$
有$[160.0,71.55,136.1(*2),84.12(*2),103.7(*2),74.45(*2)]$ 这些共振频率 这些共振频率我们在频谱中都可以看到
同时频谱会有个特殊规律 (注意我们初始电压放在Pri0的内部电容中)
- 对于特定位置(V0 V1 V4 V5 V6 V9) 其电压曲线v($\omega$)的共振频率为 $[75,85,104,137,160]Hz$
- 对于特定位置(V2 V3 V7 V8) 其电压曲线v($\omega$)的共振频率为 $[72,85,104,137,160]Hz$
$\omega$(k) ?
当元胞数趋于无穷时, 我们知道$E$=$C_0$+$2C_1$-$C_1e^{-idxk}$-$C_1e^{idxk}$ =$C_0$+$2C_1$ -$2C_1cos(dxk)$, 则有 $\omega(\bf{k})= (E*L_0)^{-1/2} = \frac{\omega_0}{\sqrt{1+2-2cos(dxk)}}$
- 我们能否从我们的观测数据中通过傅立叶变换得到 $\omega$(k)呢？ 定义 X = [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]; 一维离散傅立叶变换变换公式 $$ \begin{equation} F(u)=\sum_{n=0}^{N-1} \widehat{f}(n) e^{-j 2 \pi u(n+1)dx}dx \end{equation} $$ 即 $$ \begin{equation} \omega(k)=\sum_{n=0}^{N-1} \widehat{w}(n) e^{-ik(n+1)} \end{equation} $$ 取 $k =2\pi(0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1,…)$
按照 X = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 的横向，t = 0:t_D 的纵向
把所有连入示波器的数据存储成为VOLTAGECAR
通过2Dfft二维傅立叶变换成色图
1TEMPCAR = fft2(VOLTAGECAR);
2OkCAR = abs((TESTCAR(1:200,[1:10,1])));
3OkCAR = abs((TESTCAR(1:200,[1:10,1])));
4imagesc(OkCAR)
5axis square
与解析解$\frac{160}{\sqrt{3-2\cos \left(2\pi\frac{ {\left(k-1\right)}}{10}\right)}}$画在一起
注意这里略微的频移应该与imagese从1开始数有关（不然，貌似还有其他原因)，画图的细节后续再调
